Subespacios vectoriales: definición y ejercicios resueltos

Un subespacio vectorial es un conjunto no vacío de vectores que cumple con dos propiedades:

  • La suma de dos vectores pertenecientes al subespacio también pertenece al subespacio.
  • El producto de un vector perteneciente al subespacio por un escalar también pertenece al subespacio.

Algunas propiedades importantes de los subespacios vectoriales son:

  • El subespacio vectorial formado por el vector cero siempre está contenido en cualquier otro subespacio vectorial.
  • La intersección de dos subespacios vectoriales es un subespacio vectorial.
  • La unión de dos subespacios vectoriales no necesariamente es un subespacio vectorial.
Índice
  1. Ejercicios resueltos
    1. Ejercicio 1
    2. Ejercicio 2

Ejercicios resueltos

A continuación, se presentan algunos ejercicios resueltos sobre subespacios vectoriales:

Ejercicio 1

Sea el subespacio vectorial generado por los vectores (1, 0) y (0, 1) en R2. Demuestra que el vector (1, 1) pertenece al subespacio.

Solución:

Sea a y b dos escalares cualesquiera:

a(1, 0) + b(0, 1) = (a, b)

Por lo tanto, cualquier vector en R2 se puede expresar como una combinación lineal de los vectores (1, 0) y (0, 1). En particular, el vector (1, 1) se puede expresar como:

1(1, 0) + 1(0, 1) = (1, 1)

Por lo tanto, el vector (1, 1) pertenece al subespacio generado por los vectores (1, 0) y (0, 1).

Ejercicio 2

Sea el subespacio vectorial generado por el vector (1, 1, 1) en R3. Demuestra que el vector (2, 2, 2) pertenece al subespacio.

Solución:

Sea a un escalar cualquiera:

a(1, 1, 1) = (a, a, a)

Por lo tanto, cualquier vector en el subespacio generado por (1, 1, 1) es de la forma (a, a, a). En particular, el vector (2, 2, 2) se puede expresar como:

2(1, 1, 1) = (2, 2, 2)

Por lo tanto, el vector (2, 2, 2) pertenece al subespacio generado por el vector (1, 1, 1).

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